Opamp Feedback system Stability

Feedback Equation and Stability

일반적인 Feedback 시스템은 아래와 같이 간략화 시킬 수 있음

1) Aβ 를 Loop gain 이라 정의

2) Aβ >>1 일 경우 (b)에 있는 방정식은 아래와 같이 해석할 수 있음

위 식을 "The ideal feedback equation" 이라고 정의

3) Vout이 Power limit과 가까워 지면 아래 두가지 동작을 하게 됨

출력이 Stable 해짐 : Lockup 이라 정의	출력이 Power limit 사이에서 흔들림 : Oscillatory 라고 정의

loop gain과 Stability 관계

Stability가 깨지는 조건

설명

Loop gain(Aβ) = -1

(Magnitude : 1, Phase : -180 )

- 위 식에서 Aβ -> -1 => Vout/Vin -> 무한대

- Gain의 안정성이 깨짐

Gain(Vout/Vin) > 1

- 일반적인 전자 피드백 회로에서, gain이 1을 초과하게 되면, gain = 1이 유지되도록 비선형성 동작을 하게 됨

- Phase가 -180도에 도달하지 않도록, 설계를 해야 안정적으로 동작

일반 Opamp에서 Bode plot 분석

식 5-11의 양변에 Log를 씌우면 아래와 같아짐

여기서 Open loop gain (A)는 일반적인 Opamp에서 아래와 같이 정의 됨

5-13을 적용하여 그래프를 그려보면 아래와 같음

Closed loop gain(Vout/Vin)은 낮은 주파수에서 일정하다가 X지점에서 Open loop gain의 특성 그래프를 따라감

-> 즉 X지점부터 Gain 변동이 발생

실제 동작에선, X지점에서 Closed loop gain과 open loop gain사이에는 -3dB의 차이가 있음

3dB의 Magnitude는 루트2 이므로 아래와 같은 계산이 됨

즉 X지점에서 Loop gain의 Magnitude는 1이며, 만약 Phase가 -180도에 도달할 경우 Oscillation이 발생할 확률이 높아짐

여기서 신경써야 할 점은, X지점에서만 Stability가 깨진다는 의미가 아니라 해당 회로자체가 Oscillation이 발생할 위험이 높다 라고 이해해야함

Loop gain의 Bode plot 분석

일반적인 피드백 시스템 Loop gain의 예로 식 5-14가 있음

(해당 방정식의 양변에 log를 취하여 그래프로 그리면 위그림과 같은 그래프가 그려짐

Phase는 arc tangent(Aβ)를 계산한 결과 임)

Oscillation이 발생하려면 아래 두가지 조건이 충족되어야 함

1) Amplitude(Aβ)가 0dB지점을 지나야 함

2) Phase(Aβ)가 -180지점을 지나야 함

용어 정의 (위 그림 참조)

1) φM : φM : Phase margin

2) GM : Gain margin

위 내용을 바탕으로 Oscillation을 방지하기 위한 대책

순번	Stability 향상 대책	설명
1	Phase margin, Gain margin이 충분히 확보되어야 함	- Phase margin, Gain margin을 확보하면, Amplitude(Aβ)가 0dB를 지나는 지점에서 Phase가 180에 도달하지 않음 - Phase margin이 작을 경우, BW가 증가하는 장점이 있으니 복합적으로 고려
2	Closed loop gain을 높인다	- Closed loop gain 증가 -> β감소(식5-6참조) -> Loop gain 감소 - Loop gain 감소 -> Phase margin 증가(그래프 참조) -> Stability 향상
3	Circuit poles 사이 간격을 넓혀야 함	- Pole 사이 간격을 넓히면, Phase가 천천히 변해서, Stability가 향상 됨

2차방정식 형태의 전달함수를 통한 Overshoot 예측

일반적인 2차 함수는 아래 식으로 대표할 수 있음

S에 대해서 정리

감소조화진동의 특성방정식과 비슷한 형태로 만들 수 있음

참고내용 : 링크

감쇠비와 고유주파수를 위와 같이 구할 수 있음

이를 통해 페이즈 마진이 위와 같이 계산 됨

Damping Ratio, Phase Margin, Overshoot 사이 관계를 위 그래프와 같이 그리고, 이를 해석해서 Overshoot과 Ringing을 예측할 수 있음

비반전 Opamp회로에서 Loop gain 구하기

위 회로도에서 Loop gain은 아래 식을 통해 계산 가능

입력을 Ground에 연결시키고 피드백 Loop를 끊은 상태에서의 관계식

동일한 결과를 얻을 수 있음

반전 Opamp 회로에서 Loop gain 구하기

식 6-18에서 Aβ(Loop gain)를 확인할 수 있음

A와 β또한 간단한 나눗셈으로 구할 수 있으며, Opamp open loop gain(a)과 A는 다르다 는 것에 유의해야 함

입력 Ground, 피드백 라인을 끊으면, 위와 같이 계산 됨

중요 포인트 요약

순번	내용
1	비반전 회로와 반전회로의 전달함수는 다르다
2	비반전 회로와 반전회로의 Loop gain은 같다 -> Stability특성은 동일함 위 식에서 볼 때, Stability 특성은 Input 신호와 무관함
3	Opamp의 open loop gain은 아래와 같음 A NON–INV = a A INV = aZF ÷ (ZG + ZF)

디퍼런셜 회로에서 Loop gain 구하기